Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion
Anleitung zur Kurvendiskussion einer beliebigen ganzrationalen Funktion.
1. Definitionsbereich
Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion f ist die Menge der reellen Zahlen.
D_f = R
2. Symmetrie
Ob der Graph der Funktion f symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung des Koordinatensystems ist, lässt sich sowohl durch die Betrachtung aller vorhandenen Exponenten als auch rechnerisch ermitteln.
Betrachtung der Exponenten; Achsensymmetrie zur y- Achse
Der Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn ausschliesslich gerade Exponenten vorkommen. Hierbei ist zu beachten, dass der Exponent 0 der additiven Konstante gerade ist.
Betrachtung der Exponenten; Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems
Der Graph der Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems, wenn ausschliesslich ungerade Exponenten vorkommen.
Rechnerischer Nachweis; Achsensymmetrie zur y-Achse
f(x) = f(-x)
Rechnerischer Nachweis; Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems
f(x) = -f(-x)
3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
3.1 y-Achse
Bedingung: x = 0
3.2 x-Achse (Nullstellen)
Bedingung: f(x) = 0
4. Extrempunkte
4.1 notwendige Bedingung f ' (x) = 0
4.2 hinreichende Bedingung f ' (x) = 0 und f '' (x) ≠ 0
4.3 Koordinaten
Zur Bestimmung der Koordinaten der Extrempunkte müssen die Ergebnisse aus 4.1 in die Ausgangsfunktion f eingesetzt werden.
5. Wendepunkte
4.1 notwendige Bedingung f '' (x) = 0
4.2 hinreichende Bedingung f '' (x) = 0 und f ''' (x) ≠ 0
4.3 Koordinaten
Zur Bestimmung der Koordinaten der Extrempunkte müssen die Ergebnisse aus 5.1 in die Ausgangsfunktion f eingesetzt werden.
6. Verhalten der Funktion f im Unendlichen
Bei ganzrationalen Funktionen gibt es vier verschiedene Globalverläufe. Über den Verlauf des Graphen der Funktion f entscheidet der höchste Exponent in der Funktion sowie das Vorzeichen.
Es werden die y - Werte betrachtet, gegen die die Funktion strebt, wenn die x - Werte negativ unendlich groß oder positiv unendlich groß werden.−∞
7. Zeichnung des Funktionsgraphen
Den Abschluss der Kurvendiskussion bildet die Zeichnung des Funktionsgraphen. Hierzu ist es hilfreich eine Wertetabelle im geeigneten Intervall zu erstellen.
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