Bei Extremwertaufgaben und Extremwertproblemen handelt es sich um Anwendungsaufgaben der Funktionsuntersuchung von ganzrationalen Funktionen in der Mathematik. Diese werden oftmals mit Hilfe von algorithmen in der Informatik gelöst. Das Vorgehen bei einem Extremwertproblem erfolgt nach einem Schema, welches sich gut als programmieren lässt.

Kennzeichen eines Extremwertproblems

Bei einem Extremwertproblem soll die gesuchte größte stets möglichst klein oder möglichst groß werden. Ein Anwendungsbeispiel für eine kleinstmögliche Größe ist der Blechverschnitt beim Zuschneiden des Mantels von Konservendosen. Ein Anwendungsbeispiel für eine größtmögliche Größe ist ein Gehege, welches mit einem Zaun umrandet werden soll.

In Bezug auf die Kurvendiskussion der ganzrationalen Funktion stellt sich also die Frage, an welcher Stelle die Funktion einen Minimalwert annimmt bzw. einen Maximalwert annimmt. Im Gegensatz zur „klassischen“ Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion mit einer Variablen, hat die Ausgangsfunktion bei einer Extremwertaufgabe anfangs zwei Unbekannte. Aus diesem Grund ist die direkte Lösung nicht möglich und es muss zunächst eine Nebenbedingung für das Anwendungsbeispiel und die Funktion aufgestellt werden. Zwischen den beiden Variablen gibt es einen direkten Zusammenhang. Somit existiert auch immer eine Gleichung, welche es möglich macht, die eine Variable durch die andere auszudrücken. Hieraus folgt, dass es ebenfalls möglich ist, die Ausgangsfunktion mit Hilfe dieser Nebenbedingung so umzuschreiben, dass eine Zielfunktion entsteht, welche nur eine Variable enthält. Ist dieser Schritt gelungen, entspricht das weitere Vorgehen exakt der Bestimmung der Extrempunkte bei einer Kurvendiskussion. Zur Veranschaulichung des Verfahrens dient folgendes Beispiel:

Fragestellung: Welche Maße hat ein Hühnergehege, das die Form eines Rechtecks besitzt und dessen Flächeninhalt maximal bei konstantem Umfang (entspricht der Rolle des Maschendrahtzauns für das Hühnergehege) ist?
Seien a und b die Seiten des Rechtecks und U = const, der konstante Umfang dieses Rechtecks, so ergibt sich folgende Gleichung: U = 2a + 2b für die Berechnung des Umfangs. Für den Flächeninhalt eines beliebigen Rechtecks gilt stets: A = ab.

Daraus folgt, durch die Umstellung der obigen Gleichung für die Seite: b = U / (2-a). Dieser Term für b kann anschließend in die andere Gleichung eingesetzt werden. Hieraus ergibt sich die gewünschte Zielfunktion:
A(a) = ab = (U/2)a-a².
Da nun die Zielfunktion ermittelt ist, stellt sich nur noch die Frage, wo diese ihre Extremstellen bzw. Extrempunkte hat. Da im obigen Beispiel nach dem maximalen, also größtmöglichen Flächeninhalte gefragt ist, ist also die Hochstelle der Zielfunktion gesucht.

Ab diesem Moment ist die Vorgehensweise bei den Arbeitsschritten und Rechenschritten gleich dem Vorgehen bei der Kurvendiskussion an sich. Bei einer genauen Betrachtung der Zielfunktion lässt sich erkennen, dass es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt. Es ergibt sich, dass diese Funktion bei a = U/4 eine Hochstelle hat und daraus folgt, dass auch b = U/4 eine Hochstelle ist. Aus diesem Ergebnis wird klar, dass die gesuchte ideale Form für das Hühnergehege ein Quadrat ist.

Lösungsverfahren

Fragestellung (mit herausgefilterten mathematischen Informationen, ohne die „Rahmengeschichte“): Welche Seitenlängen hat ein Rechteck, dessen Flächeninhalt maximal bei konstantem Umfang wird?

1.) Aufstellen der Nebenbedingung: für den Umfang eines Rechtecks gilt allgemein: U = 2a + 2b. Daraus ergibt sich: b = U / (2-a).
2.) Einsetzen in die Ausgangsfunktion liefert: A(a) = ab = (U/2)a-a².
3.) Bestimmen der Extemstelle(n) der Zielfunktion

Notwendige Bedingung:

A‘(a) = (1/2)U-2a
A‘(a) = 0 => a = U/4

Hinreichende Bedingung:
A‘‘(a) = -2 <0 => Maximalstelle “Hochpunkt”

a = b = U/4 => Das gesuchte Rechteck (für das Hühnergehege) ist ein Quadrat.

Zur Lösung von Extremwertaufgaben werden stets die beiden Sätze der Differentialrechnung verwendet:

Wenn die Funktion f(x) eine stetige und differenzierbare Funktion ist und an der Stelle x die Aussage f‘(x)=0 (notwendige Bedingung) sowie f‘(x)=0 und f‘‘(x) kleiner als 0 (hinreichende Bedingung) gilt, so ist x eine Maximalstelle der Funktion.
Wenn die Funktion f(x) eine stetige und differenzierbare Funktion ist und an der Stelle x die Aussage f‘(x)=0 (notwendige Bedingung) sowie f‘‘(x)=0 und f‘‘(x)>0 (hinreichende Bedingung) gilt, so ist x eine Minimalstelle der Funktion.

Um mathematisch korrekt und somit (nicht nur in Prüfungen) „auf der sicheren Seite“ zu sein, müssen alle Extremstellen inklusive der Randstellen genau betrachtet werden. Hierfür nutzt man die sogenannte „notwendige Bedingung“ und die „hinreichende Bedingung“.

Die Kriterien der notwendigen Bedingung und der hinreichenden Bedingung

Die oben angewendeten Kriterien der notwendigen Bedingung und hinreichenden Bedingung sind vom Verfahren der Kurvendiskussion bekannt. Die notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung werden an dieser Stelle nochmal ausführlich erklärt, da diese eine häufige Fehlerquelle sind.

Die notwendige Bedingung lautet: f‘(x) = 0
Die hinreichende Bedingung ist (für eine Hochstelle): f‘(x)=0 und f‘‘(x) kleiner als 0
Die hinreichende Bedigung ist (für eine Tiefstelle): f‘(x)=0 und f‘‘(x)> 0

Oftmals wird die hinreichende Bedingung für eine Hochstelle jedoch als f‘‘(x) kleiner als 0 angegeben. Dies ist schlichtweg falsch, da immer zusätzlich auch f‘(x)=0 erfüllt sein muss. Analog gilt dies ebenso für die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle.

Zusammenfassung der Vorgehensweise

Bei Extremwertproblemen handelt es sich um Aufgaben mit Sachbezug. Der erste Arbeitsschritt ist demnach immer, die notwenigen mathematischen Informationen aus dem Text herauszulesen. Es ist sinnvoll auf Signalwörter wie „maximal“, „minimal“, „am größten“, „am kleinsten“, „größtmöglich“, „kleinstmöglich“ zu achten, da diese auf die Extremalbedingung hindeuten. Ist die Extremalbedingung aufgestellt, so muss überlegt werden, welche Größe und welche geometrische Figur möglichst „groß“ oder „klein“ werden soll. Die entsprechende Formel kann für die Nebenbedingung benutzt werden und dort nach einer Variablen umgestellt werden. Der so ermittelte Term muss nur noch in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden und die Zielfunktion aufgestellt werden.