Zeichnerische Darstellung einer ganzrationalen Funktion f

Um eine möglichst genaue Zeichnung einer beliebigen ganzrationalen Funktion f anfertigen zu können, ist eine Kenntnis der markanten Punkte dieser Funktion nötig. Diese markanten Punkte sind: die Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems (y-Achsenabschnitt, alle Nullstellen der Funktion f), die Extrempunkte (Hochpunkte, Tiefpunkte) und die Wendepunkte.

Diese Arbeit widmet sich den ganzrationalen Funktionen ab Funktionsgrad 2, also ab den quadratischen Funktionen.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

y-Achse

Der y-Achsenabschnitt lässt sich direkt an der Funktion ablesen. Die Konstante c gibt den y-Achsenabschnitt an. Des weiteren lässt sich der y-Achsenabschnitt einer Funktion berechnen, indem für x der Wert 0 in die Funktion eingesetzt wird und der dazugehörige y-Wert ermittelt wird.

x-Achse (Nullstellen)

Die Nullstellen einer Funktion lassen sich auf verschiedene Art und Weise bestimmen. Für quadratische Funktionen in Normalform eignen sich beispielsweise p-q - Formel sowie die Mitternachtsformel.

Als weitere Methode eignet sich die quadratische Ergänzung. Liegt die Funktion in faktorisierter Form vor, so lassen sich die Nullstellen ablesen, denn ein Produkt ist immer genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Eine weitere Möglichkeit Nullstellen zu bestimmen ist das Ausklammern von der Variable x, sofern diese in allen Summanden vorhanden ist. Hierdurch ergibt sich, dass eine (ggf. mehrfache) Nullstelle der Funktion im Ursprung des Koordinatensystems liegt und sich der Rest der noch zu untersuchenden Funktion im Grad verringert, sodass nachfolgend eines der oben beschriebenen Verfahren zu Nullstellenbestimmung angewendet werden kann.

Eine z-Substitution ist ebenfalls eine gute Möglichkeit um den Grad zu verringern, damit im Anschluss bereits bekannte Verfahren zur Nullstellenermittlung angewendet werden können.

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung von Nullstellen ist die Polynomdivision. Bei der Polynomdivision wird zunächst eine Nullstelle der Funktion „erraten“ beziehungsweise durch einsetzen ermittelt. Hierbei ist es sinnvoll die Teiler der Konstante c einzusetzen und zu überprüfen ob an dieser Stelle eine Nullstelle vorhanden ist.

Ist dies der Fall so ist die Funktion durch x +/- die ermittelte Nullstelle zu dividieren. Der erhaltene Term wird um Grad 1 verringert. Liegt dann bereits eine quadratische Funktion vor, kann zum Beispiel die p-q Formel zur Berechnung der weiteren Nullstellen angewendet werden. Handelt es sich bei dem erhaltenen Funktionsterm noch nicht um eine quadratische Funktion, so sind weitere Polynomdivisionen durchzuführen, bis der errechnete Funktionsterm quadratisch ist, damit im Anschluss die anderen Nullstellen bestimmt werden können.

Abschliessend sei erwähnt, dass sich Nullstellen auch mit Hilfe von iterativen Näherungsverfahren ermittelt werden können. Auf diese wird an dieser Stelle jedoch nicht weiter eingegangen.

Extrempunkte (Hochpunkte und Tiefpunkte)

Weitere markante Punkte der Funktion f sind die Extrempunkte, also die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion. Sie markieren den Punkt, bis zu dem die Funktion steigt und ab dem sie fällt (Hochpunkt) oder den Punkt, bis zu dem die Funktion fällt und ab dem sie steigt (Tiefpunkt). Im Extrempunkt selbst, hat die Funktion die Steigung Null. Aus diesem Grund lassen sich die Extremstellen einer Funktion f mit Hilfe ihrer ersten Ableitung ermitteln.

Hierfür ist es notwendig, dass zunächst die erste Ableitung f‘ der Funktion f bestimmt wird, da diese Auskunft über das Steigungsverhalten der Funktion f gibt. Anschliessend ist die erste Ableitung der Funktion gleich Null zu setzen, da sich nur an Stellen, wo die Steigung der Funktion gleich Null ist, Extremstellen der Funktion befinden können.
Sind die Extremstellen ermittelt, lässt sich, falls gewünscht, durch Einsetzen der Extremstellen in die zweite Ableitung der Funktion ermitteln, ob ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt.
Ist dies nicht von Interesse, so lassen sich die Extrempunkte der Funktion f durch das Einsetzen der Extremstellen in die Funktion berechnen.

Wendepunkte

Ebenfalls markante und wichtige Punkte einer Funktion f sind ihre Wendepunkte. Sie markieren den Punkt, an dem die Funktion ihre Richtung ändert (von links nach rechts oder von rechts nach links). Im Wendepunkt selbst ist die Krümmung der Funktion gleich Null. Aus diesem Grund lassen sich die Wendestellen einer Funktion f mit Hilfe ihrer zweiten Ableitung ermitteln.

Hierfür ist es notwendig, dass zunächst die zweite Ableitung f‘‘ der Funktion f bestimmt wird, da diese Auskunft über das Krümmungsverhalten der Funktion f gibt. Anschliessend ist die zweite Ableitung der Funktion gleich Null zu setzen, da sich nur an Stellen, wo die Krümmung der Funktion gleich Null ist, Wendestellen der Funktion befinden können.
Sind die Wendestellen ermittelt, lässt sich, falls gewünscht, durch Einsetzen der Wendestellen in die dritte Ableitung der Funktion ermitteln, ob ein Wendepunkt von links nach rechts oder ein Wendepunkt von rechts nach links vorliegt.
Ist dies nicht von Interesse, so lassen sich die Wendepunkte der Funktion f durch das Einsetzen der Extremstellen in die Funktion berechnen.

Weitere Hinweise:

durch eine vorherige Symmetrieüberprüfung ob Achsensymmetrie (bzgl der y-Achse) oder Punktsymmetrie (bzgl. des Koordinatenursprungs) vorliegt, lässt sich bei der Bestimmung der Nullstellen, Hoch- und Tief- sowie Wendepunkte viel Arbeit einsparen.

durch eine Betrachtung des Verhaltens der Funktion für unendlich große positive oder negative Werte lässt sich ermitteln, aus welchem Quadranten der Funktionsgraph zu f „kommt“ und in welchen Quadranten dieser „geht“
Durch die Kenntnis sämtlicher Nullstellen, Hoch-, Tief- sowie Wendepunkte, der Symmetrieeigenschaft der Funktion sowie dem Verhalten der Funktion für unendlich große positive oder negative x-Werte lässt sich bereits eine sehr exakte Skizze des Funktionsverlaufes erstellen.

Weitere auf dem Funktionsgraphen liegende Punkte lassen sich stets mit Hilfe einer Wertetabelle einzeichnen.