Mathematische Erkenntnisse aus dem antiken Griechenland

Die alten Griechen brachten zahlreiche hervorragende Mathematiker und Naturwissenschaftler hervor. Insbesondere in der Geometrie lieferten sie zahlreiche Thesen und bewiesen diese. Einer der berühmtesten griechischen Mathematiker war Pythagoras. Er ist eine sehr interessante und mystische Gestalt in der Geschichte der griechischen Mathematiker. Pythagoras lebte im sechsten Jahrhundert vor Christus und wuchs in Samos auf. Er sammelte seine mathematischen Erkenntnisse auf Reisen durch die ganze antike Welt. Im Süden von Italien gründete er um etwa 530 vor Christus eine Art Schule in Kroton. Diese war jedoch keine herkömmliche Schule oder etwas, das unter dem heutigen Schulbegriff verstanden wird, sondern eher eine Gruppierung von sehr strengen Mathematikern. Das Erkennungszeichen dieser Gruppierung war das Pentagramm, ein fünfzackiger Stern. Der Satz des Pythagoras ist einer der bekanntesten und berühmtesten Sätze der Mathematik.

Auch wenn dieser Satz nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras benannt ist, so gibt es Zweifel, ob dieser nicht bereits lange zuvor von den Chinesen oder Babyloniern entdeckt worden ist. Pythagoras ware jedoch der erste Mathematiker, der diesen Satz allgemeingültig bewiesen hat.

Pythagoreische Tripel beschreiben ganzzahlige Seitenlängen von Dreiecken, welche die Eigenschaft haben, dass folgende Beziehung gilt: a² + b² = c². Dreiecke, bei denen die Summe der Quadrate über den kürzeren Seiten genauso groß ist, wie das Quadrat über der längsten Seite, sind immer rechtwinklig. Pythagoras gab sich nicht damit zufrieden, dass sich dieser Zusammenhang immer wieder bestätigt hat. Der Grund dafür ist einfach: ein mathematischer Beweis oder auch ein Naturgesetz, ist nur solange gültig, bis eine Ausnahme hiervon gefunden wird oder ein Gegenbeweis geführt werden kann. Pythagoras versuchte daher seinerseits einen Beweis für seine mathematische These zu finden. Er wollte von Aussagen, die definitiv korrekt sind, Schritt für Schritt einen Gedankengang nachvollziehen, welcher zu einer wahren Schlussfolgerung kommt.

Die Pythagoreer vermuteten, dass der Zusammenhang nicht nur für Dreiecke gilt, sondern auch für Quadrate. Dies führte sie auf den richtigen Weg um den Satz des Pythagoras zu beweisen. Bis zum heutigen Tage ist nie ein Gegenbeweis gefunden worden. Daher gilt in einem rechtwinkligen Dreieck stets, dass das Quadrat über der Hypotenuse den gleichen Flächeninhalt hat, wie die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten. Die bekannteste Form der Gleichung a² +b² = c² gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke deren Hypotenuse c ist und deren beiden Katheten a und b sind. Weitere wichtige Erkenntnisse für Dreiecke sind: in einem Dreieck ist die Summe der beiden kürzeren Seiten immer größer als die längste Seite.

Wenn die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden kürzeren Seiten kleiner bzw. größer als der Flächeninhalt des Quadrates über der längsten Seite ist, so ist das Dreieck stumpfwinklig bzw. spitzwinklig. Analog gilt für Quadrate: ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden kürzeren Seiten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der längsten Seite, so ist das Dreieck stets rechtwinklig. Mit Hilfe dieser Gesetzmäßigkeiten sowie dem Umstellen der entsprechenden Formeln, lassen sich alle Seiten eines Dreiecks sowie dessen Kathetenquadrate berechnen.

Zur Berechnung ist das Wurzelziehen der Quadratwurzel nötig. Für diese gilt: die Quadratwurzel einer positiven Zahl b ist die positive Zahl, welche mit sich selbst multipliziert den Wert b ergibt. Das Wurzelziehen ist ausschließlich bei positiven Zahlen möglich, da keine negative Zahl existiert, welche mit sich selbst multipliziert einen negativen Wert ergibt. Die Berechnungen am Dreieck finden auch in der Natur sowie in der Architektur eine wichtige Rolle. Beispiele hierfür sind Längen und Flächenmessungen im Gelände sowie Abmessungen von Dachstühlen oder anderen Gebäudeteilen.