Der Sinussatz

Der Sinussatz stellt in der Trigonometrie die Beziehung zwischen eines allgemeinen Dreieckes und eines Winkels sowie den gegenüberliegenden Seiten da. Das Verhältnis zweier Seiten entspricht dabei das Verhältnis der Sinuswerte und ihrer gegenüberliegenden Winkel. Mit dem Sinussatz ist es möglich, aus zwei gegebenden Winkel und einer Länge einer gegenüberliegende Seite, die Länge der verbliebenden Seite zuberechnen.Es ist nicht nur möglich einen Länge von dem vorgegebenden Dreieck zu berechnen, sondern auch einen Winkel zu bestimmen.

Dieses erfolgt ungefähr genau wie bei der Berechnung für die Längen. Wichtig dabei ist es, dass Längen aus zweier Seiten und von der längeren Seite der Winkel vorhanden ist. Die Werte setzt man in die Formel für den Sinussatz ein und kann somit den anderen gegenüberliegenden Winkel der Längen berechnen. Doch bei diesem Vorgang muss man einige Dinge beachten, sodass keine Fehler auftreten. Es ist wichtig, dass man sich die Längen- so wie Winkelverhältnisse gut anschaut.

Denn wenn der gegenüberliegende Winkel der kürzeren Seite gegeben ist, gibt es zwei mögliche Winkel und auch Dreiecke, die mit dem Sinussatz berechnet werden können. Desweiteren wurde im Vorfeld schon angedeutet, dass es für den Sinussatz eine Formel gibt, die man auswendiglernen muss oder sich auch herleiten kann und wie das mit dem Herleiten der Fomel funktioniert wird im folgenden Text erläutert. Wenn man in einem Dreieck eine Höhe einzeichnet, dann hat man zwei rechtwinklige Teildreiecke und es ist möglich die Sinuswerte von Alpha und Beta abzulesen oder auch zu messen. Die Sinuswerte werden als Quotient für die Gegenkathete und Hypotenuse ausgedrückt.

Diese Werte werden anschließend nach der Höhe des Dreieckes umgestellt und auch gleichgesetzt. Durch die Umformung dieser Werte erhält man die normale Schreibweise der Formel. Die Formel lautet daher: Länge a/Sin(Alpha)= Länge b/Sinus(Beta)= Länge c/Sin(Gamma). Als Beispielrechnung wird folgendes Beispiel angeführt. Bekannt sind die Längen a= 7cm, b= 6cm und der Winkel Alpha= 60 Grad.Der Winkel Beta ist gesucht und daher wird folgendes in die Formel eingesetzt: Länge a/Sinus(Alph)=Länge b/Sinus(Beta)

7cm/60°=6cm/Sinus(Beta). Anhand der Äquivalenzumformung wird die Formel so umgestellt, dass Beta gesucht wird. Die Äquivalenzumformung ist auf die Addition und Subtraktion eines Termes auf beiden Seiten bezogen. Subtrahiert oder addiert man auf der einen Seite der Formel einen Wert,so muss dieses auf der anderen Seite der Rechnung auch ausgeführt werden.Bei der Beispielaufgabe würde der Rechenschritt folgendes bedeuten:
Sinus(Beta)=6cm/7cm* Sinus(60°) somit ergibt sich für Sinus(Beta) ein Wert von 0,74230. Um den Winkel von Beta zu bestimmen, wird dieser Wert in den Taschenrechner eingegeben (arcsin(0,74230).
Somit erhält man ein Ergebniss von 47,927

Der Winkel Beta beträgt circa 47,93°. Desweiteren wird nochmal auf die Geschichte von dem Sinussatz eingegangen und erklärt, bei welchen Aufgabentypen der Sinussatz angewendet werden kann.

Der Sinussatz wurde von dem persischem und muslimischen Mathematiker und Astronom Abu Nasr Mansur nachgewiesen. Abu Nasr Mansur wurde 960 Jahre nach Christus in Gilan im Iran geboren und ist 1036 nach Christus in Ghazni(Stadt in Afghanistan) gestorben. Er war ein Prinz in der politischen Sphäre. Abu Nasr Mansur besuchte eine Schule im Iran und war ein Schüler von Abu´l-Wafa. Gemeinsam machten sie große mathematische Entdeckungen und haben auch viel Zeit mit den Arbeit verbunden. Abu Nasr Mansur schriebt viele Schriftstücke zu den Themen Astronimi oder auch in der Mathematik veröffentlichete er viele wichtige Schriftstücke. Er beschäftigte sich viel mit dem Thema Trigonometrie.

Anschließend wird noch erläutert,wann man den Sinussatz anwerden kann. Der Sinussatz ist hauptsächlich dafür bestimmt, Seitenverhältnisse in einem Dreieck zu bestimmen und einzelne Winkel oder auch Längen zu berechnen.Meistens wird in den Schulen nicht der Sinussatz und der Kosinussatz unterrichtet sonder die Verhältnisse der Seiten werden besprochen und dazu wird eine Formel gelehrt,die leichter zu merken ist. In der Formel wird beschrieben, welche Werte benötigt werden, um einen Winkel oder Länge zu berechnen. Wenn der Sinus Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gesucht ist, wird die Gegenkathete mit der Hypothenuse dividiert. Wenn bei dieser Rechnung auch ein Wert nicht vorhanden ist, so wird die Äquivalenzumformung genutzt, um den fehlenden Wert zu bestimmen.